Dans les tweets maintenant supprimés, M. Musk avait appelé Vern Unsworth un "pédophile" après que l'expert des grottes ait ridiculisé un mini-sous-marin construit par M. Musk pour l'effort de sauvetage en tant que "cascade de relations publiques".
M. Unsworth a déclaré lundi aux journalistes qu'il envisageait une action en justice.
"Ce n'est pas fini", a-t-il dit au réseau australien Channel 7.
M. Unsworth, basé en Thaïlande, aurait joué un rôle clé dans l'effort de sauvetage. Il s'est rendu dans les grottes dans les premiers jours après la disparition des garçons et a aidé à faire venir les meilleurs experts internationaux en sauvetage dans les grottes pour la mission.
M. Unsworth avait déjà dit que le mini-sub construit par l'équipe de M. Musk et transporté par avion en Thaïlande avant d'être rejeté comme inapproprié pour la mission de sauvetage par les autorités thaïlandaises n'aurait "absolument aucune chance de travailler".
Elon Musk, qui s'en prend régulièrement aux journalistes et autres critiques sur Twitter, a tweeté dimanche une réponse à M. Unsworth, sans utiliser son nom mais en l'appelant "un expatrié britannique qui vit en Thaïlande".
Il a dit qu'il ferait une vidéo montrant le mini-sous-sous-marin le faisant profondément à l'intérieur de la grotte "no problemo", ajoutant : "Désolé, le pédophile, tu l'as vraiment demandé".
M. Musk n'a pas reculé lorsqu'on l'a contesté.
Il a ensuite supprimé les tweets - qui ont été envoyés à ses plus de 22 millions d'adeptes - et n'a pas encore répondu publiquement au tollé.
"Oui, a répondu M. Unsworth lorsqu'on lui a demandé s'il envisageait d'intenter une action en justice.
Les 12 garçons et leur jeune entraîneur ont été sauvés la semaine dernière du système de grottes de Tham Luang après une opération de sauvetage complexe et traître impliquant des centaines de volontaires. Ils avaient été piégés dans la grotte par la montée des eaux de crue le 23 juin et ont été retrouvés pour la première fois par des sauveteurs le 2 juillet.
Les 13 personnes secourues restent à l'hôpital dans la ville de Chiang Rai, mais on s'attend à ce qu'elles obtiennent leur congé jeudi.
La semaine dernière, alors que l'opération de sauvetage était en cours, M. Musk a frappé le responsable thaïlandais du centre de commandement de la mission, Narongsak Osotthanakorn, après avoir déclaré que le mini-sub n'était "pas pratique pour notre mission", même si elle était "technologiquement sophistiquée".
M. Musk a répondu en disant que M. Osotthanakorn avait été décrit à tort comme " chef de sauvetage " et qu'il n'était pas " l'expert en la matière ".